المصفوفات وانواعها والعمليات عليها
المصفوفات هي مجموعات مستطيلة من الأعداد أو الرموز أو التعبيرات المنظمة في صفوف وأعمدة. تستخدم المصفوفات في الرياضيات والعديد من التطبيقات العلمية والهندسية. يمكن استخدام المصفوفات لحل المعادلات الخطية وتحليل النظم وتحويل البيانات وغيرها من العمليات الرياضية.
تعريف المصفوفة:
- المصفوفة هي تنظيم مستطيل الشكل لمجموعة من الأعداد أو الرموز أو التعبيرات بين قوسين
- تتكون المصفوفة من صفوف أفقية وأعمدة عمودية، وتحتوي على عناصر تسمى مدخلات المصفوفة
خصائص المصفوفات:
- يتم تحديد رتبة المصفوفة بعدد الصفوف والأعمدة فيها
- يمكن إجراء عمليات الجمع والطرح والضرب على المصفوفات المتساوية الرتبة .
- ضرب المصفوفات ليس بعملية تبديلية، أي أن ضرب مصفوفة A بمصفوفة B لا يساوي ضرب مصفوفة B بمصفوفة A بشكل عام .
تطبيقات المصفوفات:
- تستخدم المصفوفات في حل المعادلات الخطية والنقل الخطي
- يمكن استخدام المصفوفات في تحليل النظم والتحكم والتصوير الرقمي وعلم البيانات وغيرها من المجالات العلمية والهندسية .
يمكن إجراء العديد من العمليات الرياضية الأساسية على المصفوفات. هنا هي بعض العمليات الرياضية الأساسية التي يمكن تطبيقها على المصفوفات:
1. جمع المصفوفات:
يمكن جمع مصفوفتين من نفس الحجم عن طريق جمع عناصرهما المتوافقة. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا مصفوفتين A و B بنفس الحجم، فإن مصفوفة الجمع C تكون مكونة من جمع عناصر A و B المتوافقة.
2. طرح المصفوفات:
يمكن طرح مصفوفتين من نفس الحجم عن طريق طرح عناصرهما المتوافقة. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا مصفوفتين A و B بنفس الحجم، فإن مصفوفة الطرح C تكون مكونة من طرح عناصر A و B المتوافقة.
3. ضرب المصفوفات:
يمكن ضرب مصفوفتين بحيث يتم ضرب كل عنصر في المصفوفة الأولى بالعناصر المتوافقة في المصفوفة الثانية، ثم يتم جمع هذه النتائج للحصول على المصفوفة الناتجة.
4. ضرب المصفوفة بعدد:
يمكن ضرب كل عنصر في المصفوفة بعدد معين. على سبيل المثال، يمكن ضرب كل عنصر في المصفوفة A بعدد صalar والحصول على المصفوفة الناتجة.
5. ضرب المصفوفة بمصفوفة:
يمكن ضرب مصفوفة بأخرى بحيث يتم ضرب كل صف في المصفوفة الأولى بكل عمود في المصفوفة الثانية، ثم يتم جمع هذه النتائج للحصول على المصفوفة الناتجة.
6. حساب القوى:
يمكن حساب القوى للمصفوفة بتكرار ضرب المصفوفة بنفسه عدة مرات. على سبيل المثال، يمكن حساب A^2 بضرب المصفوفة A بنفسه، ويمكن حساب A^3 بضرب المصفوفة A بنفسه ثلاث مرات، وهكذا.
7. حساب المعكوس:
يمكن حساب المصفوفة المعكوسة لمصفوفة ما إذا كانت معكوسة قابلة للحساب. المصفوفة المعكوسة لمصفوفة A تكون مصفوفة B التي عند ضربها بمصفوفة A تعطي المصفوفة الهوية.
هناك عدة أنواع من المصفوفات في الرياضيات. سأقدم لك بعض الأنواع الشائعة:
1. المصفوفة المربعة (Square Matrix): تحتوي على نفس عدد الصفوف والأعمدة. يمكن استخراج المحدد (Determinant) لهذا النوع من المصفوفات وحساب مقلوبها إذا كان محددها لا يساوي الصفر. تشمل المصفوفات المربعة المصفوفات القطرية والمتماثلة والقياسية وغيرها
2. المصفوفة المستطيلة (Rectangular Matrix): تحتوي على عدد صفوف مختلف عن عدد الأعمدة. لا تمتلك هذه المصفوفات محددًا لها، ولكن يمكن أن تمتلك مقلوبًا من جهة واحدة فقط
3. المصفوفة القطرية (Diagonal Matrix): تحتوي على عناصر غير الواقعة على القطر تساوي صفر. يمتد القطر من أقصى يسار المصفوفة إلى أدنى يمينها. يمكن أن تكون مقلوبة إذا كانت جميع قيمها القطرية لا تساوي الصفر
4. المصفوفة القياسية (Scalar Matrix): تحتوي على قيمة واحدة على القطر وتكون القيم الأخرى خارج القطر تساوي صفر. مصفوفة الوحدة هي مثال شائع للمصفوفة القياسية .
