الخلفية التاريخية لحساب الكسرات وبعض تطبيقاته الفيزيائية

يقدم هذا الفصل بعض النظريات الأساسية للتحليل الخاص "دالة جاما" والتي تستخدم في هذه الأطروحة. لمزيد من التفاصيل؛ دالات جاما وبيتا، ودالات ميتاج-ليفلر، ودالة رايت: تلعب هذه الدوال الدور الأكثر أهمية في نظرية التفاضل من الدرجة التعسفية وفي نظرية المعادلات التفاضلية الكسرية.
1. دالة جاما
لا شك أن إحدى الدوال الأساسية لحساب الكسرات هي دالة جاما لأويلر، والتي تعمم العامل وتسمح لـ n بأخذ قيم غير صحيحة وحتى قيم مركبة.

التعريف 1. تُعرَّف دالة جاما بالتكامل الذي يتقارب في النصف الأيمن من المستوى المركب Re(z) > 0. 

ومن بعض خصائص دالة جاما تتمثل إحدى الخصائص الأساسية لدالة جاما في أنها تلبي المعادلة الوظيفية والتي يمكن إثباتها بسهولة عن طريق التكامل بالأجزاء. ومن الخصائص المهمة الأخرى لدالة جاما أنها تحتوي على أقطاب بسيطة عند النقاط
2. المشتق الكسري لكابوتو
إن النمذجة الرياضية القائمة على النماذج الرومولوجية المحسنة تؤدي بطبيعة الحال إلى معادلات تفاضلية من الدرجة الكسرية - وإلى ضرورة صياغة الشروط الأولية لمثل هذه المعادلات. تتطلب المشاكل التطبيقية تعريفات للمشتقات الكسرية التي تسمح باستخدام الشروط الأولية القابلة للتفسير فيزيائيًا. وعلى الرغم من حقيقة أن مشاكل القيمة الأولية مع مثل هذه الشروط الأولية يمكن حلها بنجاح رياضيًا، فإن حلولها عديمة الفائدة عمليًا لأنه لا يوجد تفسير فيزيائي معروف لمثل هذه الأنواع من الشروط الأولية. تم اقتراح حل معين لهذا الصراع من قبل M. Caputo أولاً في ورقته وبعد عامين في كتابه الشهير “حل المعادلات التفاضلية الكسرية”. ويمكن كتابة تعريف كابوتو على نحو كسري كما ذكر فى الكتاب.

الميزة الرئيسية لمنهج كابوتو هي أن الشروط الأولية للمعادلات التفاضلية الكسرية مع مشتقات كابوتو تأخذ نفس الشكل كما هو الحال بالنسبة للمعادلات التفاضلية من الدرجة الصحيحة، أي تحتوي على قيم حدية للمشتقات من الدرجة الصحيحة للوظائف غير المعروفة عند الطرف السفلي t = a.
3. طرق أخرى لحل المعادلات من الدرجة الكسرية
في هذا البند، يتم وصف بعض الطرق التحليلية الإضافية لحل المعادلات التفاضلية والتكاملية من الدرجة الكسرية، وهي طريقة سلسلة القوى، وطريقة التحلل الأدومي.
أولا : طريقة سلسلة القوى
طريقة سلسلة القوى هي الطريقة الأكثر شفافية لحل المعادلات التفاضلية والتكاملية الكسرية. فكرة الطريقة هي البحث عن الحل في شكل سلسلة قوى ويجب تحديد قيمة السلسلة مرة أخرى.
في بعض الأحيان يكون من الممكن إيجاد التعبير العام للمعاملات، وفي أحيان أخرى يكون من الممكن فقط إيجاد علاقة التكرار للمعاملات. وفي كلتا الحالتين، يمكن حساب الحل تقريبًا كمجموع جزئي للسلسلة. وهذا يفسر سبب استخدام طريقة سلسلة القوى بشكل متكرر لحل المشكلات التطبيقية.
العيب الكبير في طريقة سلسلة القوى هو أنها تتطلب توسيع سلسلة القوى لجميع الدوال المعروفة (المعطاة) والمعاملات غير الثابتة التي تظهر في المعادلة الكسرية؛ ومع ذلك، في المشكلات الحقيقية، غالبًا ما تكون الدوال المعروفة والمعاملات غير الثابتة نتائج للقياسات وفي مثل هذه الحالات تكون توسيعات سلسلة القوى الخاصة بها غير متاحة.
من ناحية أخرى، هناك مشاكل مهمة تؤدي إلى معادلات تفاضلية وتكاملية كسرية غير خطية أو إلى معادلات من الدرجة الكسرية ذات معاملات غير ثابتة. والتي لا يمكن حلها في الوقت الحاضر إلا بمساعدة طريقة سلسلة القوى.
دعونا نفكر في عدة أمثلة لاستخدام طريقة سلسلة القوى.

ثانيا : طريقة تحلل أدوميان
تعتبر هذه الطريقة الأكثر أهمية لوصف العديد من المشاكل في تطبيقات الصناعة والطب. علاوة على ذلك، يمكن حل العديد من المعادلات التفاضلية والتفاضلية الجزئية بواسطة طريقة تحلل أدوميان.

و مسح لتطبيقات حساب الكسري يتم تقديم مسح لتطبيقات حساب الكسري في مختلف مجالات العلوم. يمكن اعتبار هذا المسح مسحًا سريعًا، ولمجموعة من التطبيقات النموذجية التي يمكن استخدامها لمزيد من التطورات باستخدام القياسات في الوصف الرياضي للمشاكل الحقيقية الناشئة في مجالات مختلفة من العلوم.

وكمثال معادلات الانتشار الكسري يعد نمذجة الانتشار في نوع معين من الوسائط المسامية (في الوسائط الكسرية) أحد أهم تطبيقات المشتقات من الدرجة الكسرية. يرتبط ترتيب المعادلة الناتجة بما يسمى البعد الكسري للمادة المسامية لوصف عمليات النقل في الكسور. تكون المعادلة الحاكمة بحيث J (t) هو التدفق الكلي عبر البعد الكسري، وX(t) هي القوة الدافعة المحلية، وL ثابت، وd هو البعد الكسري والعلاقة قانون ضرب كميتين فيزيائيتين ليكون الناتج الكمية الأخيرة كما هو الحال فى القانون العام للغازات.

أيضا مشاكل التدفق البسيطة من العديد من مشاكل التدفق في فرع ميكانيكا الموائع، وتضيف معادلات التفاضل الكسرية إضافة إلى المشاكل الأساسية مثل معادلات الزخم الكسري N-S التي يمكن إعادة كتابتها بالشكل التالي نحصل عليها من قانون الحركة حيث u وv هما مكونا السرعة العمودية و “ايتا” هو معامل اللزوجة الديناميكي.
كما أن معادلة الانتشار مع مصطلح التفاعل هي معادلة تفاضلية جزئية تنمذج توزيع الأنواع الكيميائية التي تخضع للانتشار وتتفاعل كيميائيًا. يمكن كتابة الشكل العام لهذه المعادلة على نحو حيث تركيز الأنواع و معامل الانتشار هو مصطلح التفاعل الذي يصف معدل التفاعلات الكيميائية لذلك، يمكن كتابة معادلة تدفق الغاز الطبيعي أحادي الطور الكسري في نموذج الوسائط المسامية.

3. تحويل كسري جديد وحل تحليلي لتدفق طبقة حدودية كسرية فوق صفيحة رأسية لا نهائية

من الصحيح أن المعادلات التفاضلية الكسرية قد جذبت الكثير من الاهتمام وتم استخدامها على نطاق واسع في الهندسة والفيزياء والكيمياء والأحياء وغيرها من المجالات  يعتمد تدفق الطبقة الحدودية الكسرية فوق صفيحة رأسية رياضيًا على نقل الكتلة والزخم في تدفق الطبقة الحدودية الثابتة الصفيحية للسائل اللزج غير القابل للضغط. وكما أوضح إي. بولهاوزن ، تم تقديم دالة تدفق تلبي معادلة الاستمرارية أولاً، كما تم استخدام تحويلات التشابه لتحويل معادلات التفاضل الجزئية الحاكمة إلى معادلة تفاضلية عادية. تُستخدم طريقته على نطاق واسع في نظرية الطبقة الحدودية للعديد من المؤلفين ومع ذلك، تمت مناقشة التدفق فوق صفيحة رأسية بدون تدرج الضغط في وقت مبكر بواسطة بلاسيوس ، وتم مؤخرًا الحصول على حل تحليلي مغلق لمعادلة بلاسيوس بواسطة جيه تشنغ وآخرون .
من ناحية أخرى، يتم تقديم طريقة سلسلة القوة الكسرية بشكل شائع لحل المعادلات التفاضلية الكسرية . استنتج ك. باراند وآخرون حلاً تقريبيًا لتدفق الطبقة الحدودية الصفيحية من خلال طريقة عددية باستخدام التوسع التسلسلي. 

أخيرًا، درس م. بان وآخرون توزيع السرعة لمعادلة طبقة الحدود الكسرية الفضائية غير الخطية من خلال تحليل التناظر.
في هذا البند، نحل تدفق طبقة الحدود الرقائقية الكسرية لسائل لزج غير قابل للضغط فوق صفيحة رأسية باستخدام طريقة سلسلة القوى الكسرية المتعلقة بتحويلات التشابه المحللة. يتوفر تعريف مشتقات كابوتو الكسرية في كتب الرياضيات البحتة، تتم مناقشة تدفق طبقة الحدود الرقائقية الكسرية لسائل لزج فوق صفيحة رأسية لا نهائية من خلال تحويلات التشابه والمشتقات الكسرية. نقدم تحويلًا كسريًا جديدًا لنقل المعادلة التفاضلية الجزئية إلى معادلة تفاضلية عادية ذات سياق كسري. علاوة على ذلك، استخدمنا حلاً تحليليًا يعتمد على تقنية سلسلة القوى الكسرية لحل هذه المشكلة. يتم رسم توزيعات السرعة مع متغير التشابه بقيم مختلفة من الترتيب الكسري لتوضيح تأثيرات الحجة الكسرية على سلوك السرعة. وأخيرا النموذج الفيزيائي يفترض وجود سائل لزج على مساحة غير محدودة وهذا من النماذج التى يمك حلها بأحد الطريقتين السابقتين أولا وثانيا وتؤدي إلى نتائج يمكن ‘ادة نشرها فى المجلات العلمية الحديثة وشكرا.

أتمني للجميع دوام النجاح والتوفيق